Funktionsuntersuchung

 

 

Eingabe der Funktion:

 

> f:=x->x^3+5*x^2+3*x-9;

[Maple Math]

Bestimmung der Achsenschnittpunkte:

> f(0);

[Maple Math]

Schnittpunkt mit der y-Achse ist SY(0/-9)

 

> solve(f(x),x);

[Maple Math]

Schnittpunkte mit der x-Achse sind Sx1(1/0) und Sx2(-3/0)

 

Symmetrie:

 

keine Symmetrie (gerade und ungerade Exponenten)

 

Verhalten im Unendlichen:

> limit(f(x), x=infinity);

[Maple Math]

> limit (f(x), x=-infinity);

[Maple Math]

 

Ableitungen:

> Ableitung1:=D(f);

[Maple Math]

> Ableitung2:=D(Ableitung1);

[Maple Math]

> Ableitung3:=D(Ableitung2);

[Maple Math]

>

>

Extrema:

1. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen:

 

> solve(Ableitung1(x),x);

[Maple Math]

einzig mögliche Stellen für Extrema sind -3 und -1/3

 

2. Einsetzen der Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung:

 

> Ableitung2(-3);

[Maple Math]

> Ableitung2(-1/3);

[Maple Math]

 

Die zweite Ableitung an der Stelle -3 ist negativ. f hat an der Stelle -3 ein relatives Maximum.

Die zweite Ableitung an der Stelle [Maple Math] ist positiv. f hat an der Stelle [Maple Math] ein relatives Minimum.

 

3. Bestimmung der Hoch- und Tiefpunkte:

 

> f(-3);

[Maple Math]

> f(-1/3);

[Maple Math]

Näherungswert für den letzten Wert ermitteln:

 

> evalf(%);

[Maple Math]

 

Der Punkt H(-3/0) ist Hochpunkt,

der Punkt T( [Maple Math] / [Maple Math] ), also etwa (-0,3/-9,5), ist Tiefpunkt.

 

Wendepunkte:

1. Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen:

 

> solve(Ableitung2(x),x);

[Maple Math]

Einzig mögliche Stelle für einen Wendepunkt ist [Maple Math] Abl . Da die dritte Ableitung stets den Wert 6 hat, ist die dritte Ableitung an der Stelle [Maple Math] von null verschieden. f hat also an der Stelle [Maple Math] einen Wendepunkt.

 

2. Bestimmung des Wendepunktes: (Das Einsetzen der Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung entfällt bei diesem Beispiel - s.o.)

 

> f(-5/3);

[Maple Math]

Näherungswerte ermitteln:

 

> evalf(%);

[Maple Math]

> evalf(-5/3);

[Maple Math]

Der Punkt W( [Maple Math] / [Maple Math] ), also etwa (-1,7/-4,7) ist Wendepunkt.

 

Graph:

 

> plot (f(x),x=-5..4,y=-20..60);

[Maple Plot]

>


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